Izvod

Iz Medžuviki, svobodnoj enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Izvodom funkcije v matematikě nazyvaje se granica

.
jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.

Osnovne vědomosti[izměniti | izměniti kod]

Izvod funkcije obyčno se označaje kako . To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj jest označena literoju , to jej izvod može se označati jako abo jako . Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.

Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:

  • ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
  • ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
  • ako v točkě izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě , togda v okolině točky funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky .

Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.

Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.

Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.

Izvod postojannoj funkcije[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo postojannu funkciju , to jej izvod jest:
.[1]

To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.

Izvod totožnoj funkcije[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod močnosti[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Vynesimo iz zatvorok množitelj :

Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na :

Izvod proizvoda funkcije na postojannu[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod sumy funkcij[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.

Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju , jej izvod jest
,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.

Izvod proizvoda funkcij[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Odojmimo i dobavimo izraz do ujmajemogo čislitelja:

.

To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.

Iz togo slěduje, že izvod funkcije jest . To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj ne jest naturalny.

Izvod količnika funkcij[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod logaritma[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , to jej izvod jest:

Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na :

To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu . Togda izvod funkciji bude .

Izvod složenoj funkciji[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda možno dokazati, že jej izvod jest .

To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.

Izvod trigonometričnyh funkcij[izměniti | izměniti kod]

Izvod sinusa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod kosinusa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod tangensa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod kotangensa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod sekansa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod kosekansa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod obratnoj funkcije[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda obratna funkcija jest , abo . Věmo, že
. Kromě togo,
.

Slědovateljno,

Izvod pokazateljnoj funkcije[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda obratna funkcija jest , a izvod jest:

.

Osoblivo, izvod funkciji jest .

Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij[izměniti | izměniti kod]

Izvod arksinusa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod arkkosinusa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod arktangensa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod arkkotangensa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod arksekansa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvod arkkosekansa[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo funkciju , togda jej izvod jest:

Izvody vysšego reda[izměniti | izměniti kod]

Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.

Vtory izvod funkcije označaje se kako , tretji kako . Izvod reda označaje se kako .

Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako , togda funkcija v točkě jest vypukla, a ako , togda funkcija v točkě jest vgnuta.

Ako , togda točka rěče se točka prigyba.

Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi[izměniti | izměniti kod]

Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja i označaut izvod funkcije odnosno prěměnnoj , a napisanja i označajut jej izvod odnosno prěměnnoj .

Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.

Zamětky[izměniti | izměniti kod]

  1. To ne jest neoprěděljenost, bo čislitelj jest raven nulě, a ne bliži se k nulě.