Izvod

Izvodom funkcije $f\left(x\right)$ v matematikě nazyvaje se granica

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}$$

.
$h$ jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz $f\left(x+h\right)-f\left(x\right)$ rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.

Osnovne vědomosti

Izvod funkcije $f\left(x\right)$ obyčno se označaje kako $f'\left(x\right)$. To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj $x$ jest označena literoju $y$, to jej izvod može se označati jako $y'$ abo jako $\frac{dy}{dx}$. Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.

Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:

• ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
• ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
• ako v točkě $a$ izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě $b$, togda v okolině točky $a$ funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky $b$.

Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.

Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.

Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.

Izvod postojannoj funkcije

Ako imajemo postojannu funkciju $y=b$, to jej izvod jest:
$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{b-b}{h}=0$.

To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.

Izvod totožnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x+h-x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{h}{h}=1$$

Izvod močnosti

Ako imajemo funkciju $y=x^n$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(x+h\right)^n-x^n}{h}=$$

Vynesimo iz zatvorok množitelj $x^n$:

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^n\left(\frac{\left(x+h\right)^n}{x^n}-1\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^n\left(\left(\frac{x+h}{x}\right)^n-1\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^n\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^n-1\right)}{h}=$$

Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na $x$:

$$\lim_{h\rightarrow0}\frac{x^n\left(\left(1+\frac{h}{x}\right)^n-1\right)}{x\cdot\frac{h}{x}}=\frac{x^n}{x}\lim_{h\rightarrow0}\frac{\left(1+\frac{h}{x}\right)^n}{\frac{h}{x}}=x^{n-1}\cdot n=nx^{n-1}$$

Izvod proizvoda funkcije na postojannu

Ako imajemo funkciju $y=kf\left(x\right)$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{kf\left(x+h\right)-kf\left(x\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{k\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)}{h}=k\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}=kf'\left(x\right)$$

Izvod sumy funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)+g\left(x\right)$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)+g\left(x+h\right)-f\left(x\right)-g\left(x\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)+g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}+\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}\right)=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f'\left(x\right)+g'\left(x\right)$$

.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.

Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju $y=kx+c$, jej izvod jest
$y'=\left(kx+c\right)'=\left(kx\right)'+c'=kx'=k$,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.

Izvod proizvoda funkcij

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}=$$

Odojmimo i dobavimo izraz $f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)$ do ujmajemogo čislitelja:

$$=\lim_{h\rightarrow}\frac{f\left(x+h\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)+f\left(x\right)\cdot g\left(x+h\right)-f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow}\frac{g\left(x+h\right)\left(f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right)+f\left(x\right)\left(g\left(x+h\right)-g\left(x\right)\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}g\left(x+h\right)\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}+f\left(x\right)\lim_{h\rightarrow0}\frac{g\left(x+h\right)-g\left(x\right)}{h}=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)+f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)$$

.

To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.

Iz togo slěduje, že izvod funkcije $f\left(x\right)^n$ jest $n\cdot f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{n-1}$. To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj $n$ ne jest naturalny.

Izvod količnika funkcij

Ako imajemo funkciju $y=\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=f\left(x\right)\cdot\frac{1}{g\left(x\right)}=f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest:

$$y'=f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-1}-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)^{-2}=f'\left(x\right)\cdot\frac{1}{g\left(x\right)}-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)\frac{1}{g\left(x\right)^2}=\frac{f'\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}=\frac{f'\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g'\left(x\right)}{g\left(x\right)^2}$$

Izvod logaritma

Ako imajemo funkciju $y=\ln x$, to jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left(x+h\right)-\ln x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\frac{x+h}{x}}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}=$$

Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na $x$:

$$=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\ln\left(1+\frac{h}{x}\right)\cdot\frac{1}{x}}{\frac{h}{x}}=\frac{1}{x}$$

To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu $a\ne0\and a\ne1$. Togda izvod funkciji $y=\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}$ bude $\frac{1}{x\ln a}$.

Izvod složenoj funkciji

Ako imajemo funkciju $y=f\left(g\left(x\right)\right)$, togda možno dokazati, že jej izvod jest $y'=f'\left(g\left(x\right)\right)\cdot g'\left(x\right)$.

To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.

Izvod trigonometričnyh funkcij

Izvod sinusa

Ako imajemo funkciju $y=\sin x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin\left(x+h\right)-\sin x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\cos h+\sin h\cos x-\sin x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)+\sin h\cos x}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}=\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x\left(\cos h-1\right)}{h}+\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin h\cos x}{h}=\sin x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\lim_{h\rightarrow0}\frac{\sin x}{x}=\cos x$$

Izvod kosinusa

Ako imajemo funkciju $y=\cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$, togda jej izvod jest:

$$y'=-\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=-\sin x$$

Izvod tangensa

Ako imajemo funkciju $y=\text{tg}\space x=\frac{\sin x}{\cos x}$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\left(-\sin x\right)}{\cos x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$$

Izvod kotangensa

Ako imajemo funkciju $y=\text{ctg}\space x=\frac{\cos x}{\sin x}$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{-\sin x\cdot\sin x-\cos x\cdot\cos x}{\sin^2 x}=\frac{-\sin^2 x-\cos^2 x}{\sin^2 x}=-\frac{1}{\sin^2 x}=-\csc^2 x$$

Izvod sekansa

Ako imajemo funkciju $y=\sec x=\frac{1}{\cos x}=\left(\cos x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest:

$$y=-\left(\cos x\right)^{-2}\cdot\left(-\sin x\right)=-\frac{1}{\cos^2 x}\cdot\left(-\sin x\right)=\frac{\sin x}{\cos^2 x}=\text{tg}\space x\cdot\sec x$$

Izvod kosekansa

Ako imajemo funkciju $y=\csc x=\frac{1}{\sin x}=\left(\sin x\right)^{-1}$, togda jej izvod jest:

$$y'=-\left(\sin x\right)^{-2}\cdot\cos x=-\frac{\cos x}{\sin^2 x}=-\text{ctg}\space x\csc x$$

Izvod obratnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=f\left(x\right)$, togda obratna funkcija jest $x=f\left(y\right)$, abo $y=f^{-1}\left(x\right)$. Věmo, že
$f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)=x$. Kromě togo,
$x'=1$.

Slědovateljno,

$$\left(f\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\right)'=1$$

$$f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)\cdot \left(f^{-1}\left(x\right)\right)'=1$$

$$y'=\left(f^{-1}\left(x\right)\right)'=\frac{1}{f'\left(f^{-1}\left(x\right)\right)}$$

Izvod pokazateljnoj funkcije

Ako imajemo funkciju $y=a^x \left(a\ne0\and a\ne1\right)$, togda obratna funkcija jest $y=\log_a x$, a izvod jest:

$$y'=\frac{1}{\frac{1}{a^x\ln a}}=a^x\ln a$$

.

Osoblivo, izvod funkciji $y=e^x$ jest $y'=e^x$.

Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij

Izvod arksinusa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arcsin}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{\cos\left(\text{arcsin}\space x\right)}=\frac{1}{\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\space x\right)\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Izvod arkkosinusa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arccos}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{-\sin\left(\text{arccos}\space x\right)}=-\frac{1}{\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\space x\right)\right)^2}}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

Izvod arktangensa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arctg}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{\sec^2\left(\text{arctg}\space x\right)}=\cos^2\left(\text{arctg}\space x\right)=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\space x\right)\right)^2+1}=\frac{1}{x^2+1}$$

Izvod arkkotangensa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arcctg}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{-\csc^2\left(\text{arcctg}\space x\right)}=-\sin^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)=\cos^2\left(\text{arctg}\space\frac{1}{x}\right)-1=\frac{1}{\left(\text{tg}\left(\text{arctg}\frac{1}{x}\right)\right)^2+1}-1=\frac{1}{\left(\frac{1}{x}\right)^2+1}-1=\frac{1}{\frac{1}{x^2}+1}-1=\frac{1}{\frac{1+x^2}{x^2}}-1=\frac{x^2}{x^2+1}-1=\frac{x^2-x^2-1}{x^2+1}=-\frac{1}{x^2+1}$$

Izvod arksekansa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arcsec}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arcsec}\space x\right)\cdot\sec\left(\text{arcsec}\space x\right)}=\frac{1}{\text{tg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{\text{ctg}\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{x}=\frac{\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)}{\sin\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\cos\left(\text{arccos}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

Izvod arkkosekansa

Ako imajemo funkciju $y=\text{arccsc}\space x$, togda jej izvod jest:

$$y'=\frac{1}{-\text{ctg}\left(\text{arccsc}\space x\right)\cdot\csc\left(\text{arccsc}\space x\right)}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arccsc}\space x\right)}{x}=-\frac{\text{tg}\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{x}=-\frac{\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)}{\cos\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\cdot x}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\sin\left(\text{arcsin}\frac{1}{x}\right)\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\sqrt{\frac{x^2-1}{x^2}}}=-\frac{1}{x^2\cdot\frac{\sqrt{x^2-1}}{|x|}}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

Izvody vysšego reda

Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.

Vtory izvod funkcije $y$ označaje se kako $y''$, tretji kako $y'''$. Izvod reda $n\in\mathbb{N}$ označaje se kako $y^{\left(n\right)}$.

Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako $f''\left(x_0\right)>0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_0$ jest vypukla, a ako $f''\left(x_0\right)<0$, togda funkcija $f\left(x\right)$ v točkě $x_0$ jest vgnuta.

Ako $f''\left(x\right)=0$, togda točka $x_0$ rěče se točka prigyba.

Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi

Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja $z'_x$ i $\frac{dz}{dx}$ označaut izvod funkcije $z$ odnosno prěměnnoj $x$, a napisanja $z'_y$ i $\frac{dz}{dy}$ označajut jej izvod odnosno prěměnnoj $y$.

Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.