Izvodom funkcije
nazyvaje se granica
.
jest někoje pravdivo čislo i se rěče izměna argumenta, a izraz
rěče se izměna funkcije. Itak, izvod funkcije jest granica odnošenja medžu izměnoj funkcije i izměnoj jej argumenta, abo, inymi slovami, ocěnka izměny funkcije.
Izvod funkcije
obyčno se označaje kako
. To označenje byše vvedeno od Josepha Louisa Lagrange'a. Ako funkcija prěměnnoj
jest označena literoju
, to jej izvod može se označati jako
abo jako
. Poslědno označenje byše vvedeno od Gottfrieda Wilhelma Leibniza, iže dolgo se učil infinitezimalnomu čisljenju.
Izvod jest mnogo udobny instrument v razsmotrjenju funkcije: jego znak dozvalja dověděti se, raste funkcija ili padaje, i s kojej bystrostu. Točněje:
- ako izvod jest polžen, togda funkcija raste;
- ako izvod jest odrečen, togda funkcija padaje;
- ako v točkě
izvod imaje absolutnu cěnnost, večšu, čem v točkě
, togda v okolině točky
funkcija izměnjaje se bystrěje, čem v okolině točky
.
Izvod funkcije v oprěděljenoj točkě jest naklon prěmoj, koja se dotyče k grafiku v toj točke. Ta prěma može takože prěsěkti grafik u inoj točkě.
Ako v někojej točke izvod jest raven nulě, to taka točka rěče se stacionarna abo kritična. Prěma, koja se dotyče k grafiku funkcije v kritičnoj točke, jest ravnoběžna k osi abscys.
Da by jestvoval izvod funkcije v oprěděljenoj točke, funkcija imaje byti bezprěrvyna v toj točke, ale ne vsegda, ako funkcija jest bezprěryvna v oprěděljenoj točke, to ona imaje izvod v toj točke.
Ako imajemo postojannu funkciju
, to jej izvod jest:
.[1]
To možno takože polučiti inym sposobom: funkcija imaje jednaku cennost na vsej pravdivoj množině, slědovateljno izvod ne može byti ni polžnym, ni odrečnym, tomu on imaje byti raven nulě.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:

Vynesimo iz zatvorok množitelj
:

Pomnožimo i razdělimo imenovatelj na
:
.
Izvod proizvoda funkcije na postojannu[praviti | praviti kod]
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
To pravilo možno razširiti do trěh i bolje funkcij.
Analogično se nahodi izvod raznice. Kromě togo, ako imajemo linearnu funkciju
, jej izvod jest
,
i ravni se naklonu prěmoj, koja jest grafikom toj funkcije. Možemo rěkti, že ako majemo prěmu, to jedina prěma, koja se dotyče k toj prěmoj, jest ta sama prěma.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:

Odojmimo i dobavimo izraz
do ujmajemogo čislitelja:
.
To pravilo možno obobčiti: aby nadjti izvod proizvoda ktoroj-libo kolikosti funkcij, izvod každoj funkcije se množi na vse ostatne funkcije, a potom vse izvody se dobavjajut.
Iz togo slěduje, že izvod funkcije
jest
. To jest pravda navet togda, kogda pokazatelj
ne jest naturalny.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, to jej izvod jest:

Pomnožimo čislitelj i znamenatelj na
:
.
To pravilo možno obobčiti, ako zaměsto prirodnoj osnovy koristiti ktorukoli osnovu
. Togda izvod funkciji
bude
.
Ako imajemo funkciju
, togda možno dokazati, že jej izvod jest
.
To pravilo rěče se pravilo lanca i jego možno obobčiti dla trěh i veče funkcij.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda obratna funkcija jest
, abo
. Věmo, že
. Kromě togo,
.
Slědovateljno,


.
Ako imajemo funkciju
, togda obratna funkcija jest
, a izvod jest:
.
Osoblivo, izvod funkciji
jest
.
Izvod obratnyh trigonometričnyh funkcij[praviti | praviti kod]
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
.
Ako imajemo funkciju
, togda jej izvod jest:
Red izvoda jest kolikost priměnjenij toj operaciji. Izvod prvogo izvod jest vtory izvod, izvod vtorogo izvoda jest tretji izvod i t. d.
Vtory izvod funkcije
označaje se kako
, tretji kako
. Izvod reda
označaje se kako
.
Drugy izvod da vědomosti odnosno vypuklosti funkcije. Ako
, togda funkcija
v točkě
jest vypukla, a ako
, togda funkcija
v točkě
jest vgnuta.
Ako
, togda točka
rěče se točka prigyba.
Izvody funkcij s několikymi prěměnnymi[praviti | praviti kod]
Ako funkcija imaje bolje, čem jednu prěměnnu, togda možno nadjti jej izvod odnosno ktoroj-nebud, koristeči jednake pravila. Napisanja
i
označaut izvod funkcije
odnosno prěměnnoj
, a napisanja
i
označajut jej izvod odnosno prěměnnoj
.
Izvod funkcije odnosno kojej-nebud prěměnnoj, iže se ne pojavja v njej, jest raven nulě.
- ↑ To ne jest neoprěděljenost, bo čislitelj jest raven nulě, a ne bliži se k nulě.