Kompleksno čislo

Kompleksno čislo može byti predstavlenym vizualno tako.

Kompleksnym čislom v matematikě nazyvaje se čislo, koje se zapisyvaje v formě $a+bi$, kde čislo $a$ rěče se pravdiva čest, čislo $b$ rěče se izmysljeny koeficijent, a $i$ nazyvaje se izmysljenoju jediniceju.

Osnovne vědomosti

Ktorokoli pravdivo čislo, vozvyšeno v kvadrat, da neodrečny rezultat. Slědovateljno, ravnjenje
$x^2=-1$, abo $x^2+1=0$
ne imaje pravdivyh rěšenij. Jednakže, ono ima dva izmysljene rešenja, $\pm i$. Izmysljena jedinica $i$ časom oprěděljaje se kako kvadratny korenj iz minus jedinice.

Kompleksne čisla, pravdiva čest ktoryh jest nulova, nazyvajut se izmysljenymi čislami.

Pravdive čisla sut kompleksne čisla, izmysljena čest ktoryh jest nulova. Slědovateljno, množina pravdivyh čisel jest vlastna podmnožina kompleksnyh čisl.

Čislo $0$ (nula) jest jedino čislo, iže jest v tom samom vrěmenu pravdivo i kompleksno (i izmysljeno).

Historija

Vvedenje kompleksnyh čisel jest čestično svezane s rěšenjem kubičnyh ravnjenj. Napravdu, priměnjajuči formulu Cardana k ravnjenju $x^3-15x-4$, polučaje se izraz $\sqrt[3]{2+11\sqrt{-1}}+\sqrt[3]{2-11\sqrt{-1}}$, a kvadratny korenj od odrečnogo čisla ne byl oprěděljeny; iz drugoj strany, kubične ravnjenje vsegda imaje ponje jedno pravdive rěšenje (v slučaju ravnjenja $x^3-15x-4$, jest dost prosto prověriti, že jednym rěšenjem jest čislo $4$, a dvoma inymi rěšenjami sut rěšenja kvadratnogo ravnjenja $x^2+4x+1$). Toj problem byl rěšen pozdněje, s vvedenjem kompleksnyh čisl. Dnes kompleksne čisla često se koristajut ne toliko v matematikě, a takože vo mnogyh oblastah elektroniky i elektrotehniky.

Terminologija

Dva kompleksne čisla rěče se:

• protivpoložene, ako jih pravdive česti sut protivpoložene i jih izmysljene česti tož sut protivpoložene: $-(a+bi)=-a-bi$;
• sprežene, ako jih pravdive česti sut ravne, a jih izmysljene česti sut protivpoložene: $\overline{a+bi}=a-bi$.

Prědstavljenje kompleksnyh čisel

Kompleksne čisla često označajut se črez literu $z$. Ako $z=a+bi$, togda pišut, že $\text{Re}\left(z\right)=a$, a $\text{Im}\left(z\right)=b$.

Imajemo:

• $\text{Re}\left(-z\right)=-\text{Re}\left(z\right)$;
• $\text{Im}\left(-z\right)=-\text{Im}\left(z\right)$;
• $\text{Re}\left(\overline{z}\right)=\text{Re}\left(z\right)$;
• $\text{Im}\left(\overline{z}\right)=-\text{Im}\left(z\right)$.

Grafično kompleksne čisla možno prědstaviti v tako zvanoj kompleksnoj ploskosti abo ploskosti Gaussa. Ta ploskost izgledaje, kako koordinatna ploskost, ale osi imajut ine nazvy: pravdiva os (horizontalna) i izmysljena os (vertikalna).

Každomu kompleksnomu čislu odpovědaje ravno jedna točka v ploskosti Gaussa, i každoj točkě v ploskosti Gaussa odpovědaje ravno jedno kompleksno čislo.

Na pravdivoj osi sut pravdive čisla, a na izmysljenoj osi sut izmysljene čisla.

Protivpoložene kompleksne čisla sut surazměrne odnosno početka, a sprežene kompleksne čisla sut surazměrne odnosno pravdivoj osi.

Dekujuči prědstavljeniju kompleksnyh čisel v ploskosti Gaussa, imajemo take dva parametry:

• polměr abo modul kompleksnogo čisla jest oddaljenje togo kompleksnogo čisla od početka: $r=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$;
• argument kompleksnogo čisla jest kut medžu dodatnoj čestju pravdivoj osi i lučem, iže izhodi od početka i prohodi črez to kompleksno čislo. Glavny argument označaje se črez $\alpha=\text{Arg}\left(a+bi\right)$ i nahodi se slědujučim sposobom:
  • ako $a=b=0$, argument jest neoprěděljeny;
  • ako $a=0$, a $b>0$, togda $\alpha=\frac{\pi}{2}$;
  • ako $a=0$, a $b<0$, togda $\alpha=\frac{3}{2}\pi$;
  • ako $a>0$ i $b>0$, togda $\alpha=\text{arctg}\frac{b}{a}$;
  • ako $a<0$, togda $\alpha=\text{arctg}\frac{b}{a}+\pi$;
  • ako $a>0$, $b<0$, togda $\alpha=\text{arctg}\frac{b}{a}+2\pi$.

Ako kut $\alpha$ jest argument někojego kompleksnogo čisla, togda kut $\alpha+2k\pi, \pi\in\mathbb{Z}$ takože jest argumentom togo čisla. Kromě togo:

• $|-z|=|z|$;
• $|\overline{z}|=|z|$;
• $|\text{Arg}\left(z\right)-\text{Arg}\left(-z\right)|=\pi$;
• $\text{Arg}\left(z\right)+\text{Arg}\left(\overline{z}\right)=2\pi$.

Forma $a+bi$ rěče se algebraična forma kompleksnogo čisla, ale ješče jest dvě formy prědstavjanja kompleksnyh čisl:

• trigonometrična forma: $r\left(\cos\alpha+i\sin\alpha\right)$;
• pokazateljna forma: $re^{\alpha i}$.

Imajemo $a=r\cdot\cos\alpha$, $b=r\cdot\sin\alpha$.

Napriměr, možemo napisati $-1$ jak $e^{\pi i}$. Slědovateljno, $e^{\pi i}=-1$, abo $e^{\pi i}+1=0$.

Ta ravnost nazyvvaje se ravnostju Eulera i jest najkrasivějša matematična ravnost. V jej objavjajut se pet najglavnějših čisel:

• $e$ (čislo Eulera) jest osnova prirodnogo logaritma i granica $\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$;
• $\pi$ jest odnošenje medžu dolgostju obvoda i jego prěčnikom;
• $i$ jest izmysljena jedinica;
• $1$ jest jedinica (vse);
• $0$ jest nula (ničto).

Dějanja s kompleksnymi čislami

Dobavjanje

Ako imajemo dva kompleksne čisla, $a+bi$, $c+di$, togda jih suma jest $\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)$.

Priměnjajuči svojstva dobavjanija:

$$\left(a+bi\right)+\left(c+di\right)=a+bi+c+di=a+c+bi+di=\left(a+c\right)+\left(b+d\right)i$$

Suma dvoh spreženyh kompleksnyh čisel vsegda jest pravdivo čislo: $\left(a+bi\right)+\left(a-bi\right)=a+bi+a-bi=2a$.

Odimanje

Da by od odnogo kompleksnogo čisla odjeti drugo, možno do prvogo kompleksnogo čisla dobaviti kompleksne čislo, protivpoložene do drugogo: $\left(a+bi\right)-\left(c+di\right)=a+bi-c-di=a-c+bi-di=\left(a-c\right)+\left(b-d\right)i$.

Množenje

Proizvod dvoh kompleksnyh čisel $a+bi$ i $c+di$ jest $\left(a+bi\right)\left(c+di\right)$. Priměnjajuči svojstva množenja i dobavjanija, imajemo:

$$\left(a+bi\right)\left(c+di\right)=ac+adi+bci-bd=ac-bd+adi+bci=\left(ac-bd\right)+\left(ad+bc\right)i$$

Proizvod dvoh spreženyh kompleksnyh čisel vsegda jest pravdivo čislo: $\left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^2+b^2$.

Množenje v pokazateljnoj formě

Pomnožiti dva kompleksne čisla jest prostějše, ako oni sut napisane v pokazateljnoj formě: $re^{\alpha i}$ i $se^{\beta i}$. Togda:

$$re^{\alpha i}\cdot se^{\beta i}=rse^{\alpha i}e^{\beta i}=\left(rs\right)e^{\alpha i+\beta i}=\left(rs\right)e^{\left(\alpha+\beta\right)i}$$

Děljenje

Ako imajemo dva kompleksne čisla, $a+bi$ i $c+di\ne0$, togda jih količnik jest $\frac{a+bi}{c+di}$. Da by osvoboditi imenovnik od izmysljenoj jedinice, pomnožimo čiseljnik i imenovnik na kompleksno čislo $c-di$, spreženo do imenovnika:

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{\left(a+bi\right)\left(c-di\right)}{\left(c+di\right)\left(c-di\right)}=\frac{ac-adi+bci+bd}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

Děljenje v pokazateljnoj formě

Poděliti odno kompleksno čislo na drugo, odzlične od nuly, jest prostějše, ako oni sut napisane v pokazateljnoj formě. Togda imajemo:

$$\frac{re^{\alpha i}}{se^{\beta i}}=\frac{r}{s}\frac{e^{\alpha i}}{e^{\beta i}}=\frac{r}{s}e^{\alpha i-\beta i}=\frac{r}{s}e^{\left(\alpha-\beta\right)i}$$

Vozvyšenje v močnost

Cěly pokazatelj

Ako pokazatelj jest cěl, vozvysiti kompleksne čislo v močnost togo pokazatelja jest najprostějše, ako ono jest napisano v pokazateljnoj formě:

$$\left(re^{\alpha i}\right)^n=r^ne^{ni^\alpha},n\in\mathbb{Z}$$

Kompleksny pokazatelj

Vozvysiti jedno kompleksno čislo do močnosti drugogo kompleksnogo čisla jest najprostějše, ako osnova jest napisana v pokazateljnoj formě, a pokazatelj v algebraičnoj:

$$\left(re^{\alpha i}\right)^{c+di}=\left(re^{\alpha i}\right)^c\left(re^{\alpha i}\right)^{di}=r^ce^{c\alpha i}r^{di}e^{-d\alpha}=\frac{r^c}{e^{d\alpha}}e^{c\alpha i}\left(r^d\right)^i=\frac{r^c}{e^{d\alpha}}e^{c\alpha i}e^{\ln\left(r^d\right)^i}=\frac{r^c}{e^{d\alpha}}e^{c\alpha i}e^{i\ln r^d}=\frac{r^c}{e^{d\alpha}}e^{\left(c\alpha+d\ln r\right)i}.$$

Iztrganje korenja

Iztrgnuti korenj iz kompleksnogo čisla jest najprostějše, ako ono jest napisano v pokazateljnoj formě. Dlja togo koristi se tako zvana formula De Moivre’a:

$$\sqrt[n]{re^{\alpha i}}=\sqrt[n]{r}\sqrt[n]{e^{\alpha i}}=\sqrt[n]{r}e^{\frac{\alpha+2k\pi}{n}i},n\in\mathbb{N},k=0,1,2...,n.$$

Ako $k=0$, togda polučajemo glavny korenj: $\sqrt[n]{r}e^{\alpha}{n}i$.

Logaritm

Prirodny logaritm

Izčisliti prirodny logaritm iz kompleksnogo čisla, odzličnogo od nuly, jest najprostějše, ako ono jest napisano v pokazateljnoj formě:

$$\ln\left(re^{\alpha i}\right)=\ln r+\ln e^{\alpha i}=\ln r+\left(\alpha+2n\pi\right)i, r\ne0, n\in\mathbb{Z}$$

Ako $n=0$, togda imajemo glavny prirodny logaritm: $\ln r+\alpha i$.

Logaritm po kompleksnoj osnově

Ako osnova i argument logaritma sut dva kompleksne čisla, odzlične od nuly (prvo takože jest odzlične od jedinice) i napisane v pokazateljnoj formě, togda imajemo tako:

$$\log_{re^{\alpha i}}\left(se^{\beta i}\right)=\frac{\ln\left(se^{\beta i}\right)}{\ln\left(re^{\alpha i}\right)}=\frac{\ln s+\left(\beta+2m\pi\right)i}{\ln r+\left(\alpha+2n\pi\right)i},re^{\alpha i}\ne1, r, s\ne0$$

Ako $m=n=0$, togda imajemo glavny logaritm: $\frac{\ln s+\beta i}{\ln r+\alpha i}$.

Trigonometrične funkcije

Uže znajemo, že

$$\cos\alpha+i\sin\alpha=e^{\alpha i}$$

Zaměnimo $\alpha$ na $-\alpha$:

$$\cos\alpha-i\sin\alpha=e^{-\alpha i}$$

Odimajuči od prvoj ravnosti vtoru, imajemo:

$$2i\sin\alpha=e^{\alpha i}-e^{-\alpha i}$$

$$\sin\alpha=\frac{e^{\alpha i}-e^{-\alpha i}}{2i}$$

Dobavjajuči do prvoj ravnosti vtoru, imajemo:

$$2\cos\alpha=e^{\alpha i}+e^{-\alpha i}$$

$$\cos\alpha=\frac{e^{\alpha i}+e^{-\alpha i}}{2}$$

Koristajuči te dvě totožnosti, možemo nadjti trigonometrične funkcije kompleksnyh čisel (kompleksne čisla budut napisane v algebraičnoj formě).

Sinus

Sinus kompleksnogo čisla nahodi se tako:

$$\sin\left(a+bi\right)=\sin a\cos bi+\cos a\sin bi=\sin a\frac{e^{-b}+e^{b}}{2}+\cos a\frac{e^{-b}-e^{b}}{2i}=\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b$$

Kosinus

Kosinus kompleksnogo čisla jest:

$$\cos\left(a+bi\right)=\cos a\cos bi-\sin a\sin bi=\cos a\frac{e^{-b}+e^{b}}{2}-\sin a\frac{e^{-b}-e^{b}}{2i}=\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b$$

Tangens

Tangensom nazyvaje se odnošenje medžu sinusom i kosinusom:

$$\text{tg}\left(a+bi\right)=\frac{\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b}{\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b},a+bi\ne\frac{\pi}{2}+n\pi=$$

Děleči čiseljnik i imenovnik na $\cos a\cosh b$, imajemo tako:

$$=\frac{\text{tg}\space a+i\tanh b}{1-i\space\text{tg}\space a\tanh b}=\frac{\left(\text{tg}\space a+i\tanh b\right)\left(1+i\space\text{tg}\space a\tanh b\right)}{\left(1-i\space\text{tg}\space a\tanh b\right)\left(1+i\space\text{tg}\space a\tanh b\right)}=\frac{\text{tg}\space a+i\space\text{tg}^2 a\tanh b+i\tanh b-\text{tg}\space a\tanh^2 b}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1}=\frac{\text{tg}\left(1-\tanh^2 b\right)}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1}+\frac{\tanh b\left(\text{tg}^2 a+1\right)}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1}i=$$

$$=\frac{\text{tg}\space\text{sech}^2 b}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1}+\frac{\tanh b\sec^2 a}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1},a+bi\ne\frac{\pi}{2}+n\pi,n\in\mathbb{Z}$$

Kotangens

Kotangensom nazyaje se odnošenje medžu kosinusom i sinusom:

$$\text{ctg}\left(a+bi\right)=\frac{\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b}{\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b}=$$

Děleči čiseljnik i imenovnik na $\sin a\sinh b$, imajemo:
$=\frac{\text{ctg}\space a\coth b-i}{\coth b+i\space\text{ctg}\space a}=\frac{\left(\text{ctg}\space a\coth b-i\right)\left(\coth b-i\space\text{ctg}\space a\right)}{\left(\coth b+i\space\text{ctg}\space a\right)\left(\coth b-i\space\text{ctg}\space a\right)}=\frac{\text{ctg}\space a\coth^2 b-i\space\text{ctg}^2 a\coth b-i\coth b-\text{ctg}^2 a}{\coth^2 b+\text{ctg}^2 a}=\frac{\text{ctg}\space a\left(\coth^2 b-\text{ctg}\space a\right)}{\coth^2 b+\text{ctg}^2 a}-\frac{\coth b\left(\text{ctg}^2 a+1\right)}{\coth^2 b+\text{ctg}^2 a}i=$ $=\frac{\text{ctg}\space a\left(\coth^2 b-\text{ctg}\space a\right)}{\coth^2 b+\text{ctg}^2 a}-\frac{\coth b\csc^2 a}{\coth^2 b+\text{ctg}^2 a}i,a+bi\ne n\pi, n\in\mathbb{Z}$

Sekans

Sekansom nazyvaje se čislo, obratno kosinusu:

$$\sec\left(a+bi\right)=\frac{1}{\cos a\cosh b-i\sin a\sinh b}=\frac{\cos a\cosh b+i\sin a\sinh b}{\cos^2 a\cosh^2 b+\sin^2 a\sinh^2 b}=\frac{\cos a\cosh b}{\sin^2 a\sinh^2 b+\cos^2 a\cosh^2 b}+\frac{\sin a\sinh b}{\sin^2 a\sinh^2 b+\cos^2 a\cosh^2 b}i=$$

Děleči čiseljnik i imenovnik prvogo ulomka na $\cos^2 a\cosh^2 b$, a drugogo na $\sin^2 a\sinh^2 b$, imajemo:

$$=\frac{\sec a\space\text{sech}\space b}{\text{tg}^2 a\tanh^2 b+1}+\frac{\csc a\space\text{csch}\space b}{\text{ctg}^2 a\coth^2 b+1}i,a+bi\ne\frac{\pi}{2}+n\pi, n\in\mathbb{Z}.$$

Kosekans

Kosekansom nazyvaje se čislo, obratno sinusu:

$$\csc\left(a+bi\right)=\frac{1}{\sin a\cosh b+i\cos a\sinh b}=\frac{\sin a\cosh b-i\cos a\sinh b}{\sin^2 a\cosh^2 b+\cos^2 a\sinh^2 b}=\frac{\sin a\cosh b}{\sin^2 a\cosh^2 b+\cos^2 a\sinh^2 b}-\frac{\cos a\sinh b}{\sin^2 a\cosh^2 b+\cos^2 a\sinh^2 b}i=$$

Děleči čiseljnik i imenovnik prvogo ulomka na $\sin^2 a\cosh^2 b$, a drugogo na $\cos^2 a\sinh^2 b$, imajemo:

$$=\frac{\csc a\space\text{sech}\space b}{\text{ctg}^2 a\tanh^2 b+1}-\frac{\sec a\space\text{csch}\space b}{\text{tg}^2 a\coth^2 b+1}i,a+bi\ne n\pi, n\in\mathbb{Z}.$$

Obratne trigonometrične funkcije

Obratne trigonometrične funckije takože sut oprěděljene dlja kompleksnyh čisl, ale koristajut se malo. Zaměsto togo, se rěšajut trigonometrične ravnjanja, napriměr:

$$\cos z=a$$

$$\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2}=a$$

$$e^{zi}+e^{-zi}=2a$$

Zaměnjajuči $e^{zi}=t$, imajemo tako:

$$t+\frac{1}{t}=2a$$

$$t^2+1=2at$$

$$t^2-2at+1=0$$

$$\frac{D}{4}=a^2-1=\left(a-1\right)\left(a+1\right)$$

$$t=a\pm\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

Togda:

$$e^{zi}=a\pm\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}$$

$$zi=\ln\left(a\pm\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\right)$$

$$z=2n\pi-i\ln\left(a\pm\sqrt{\left(a-1\right)\left(a+1\right)}\right), n\in\mathbb{Z}$$