Kvadratno ravnanje

Iz Medžuviki, svobodnoj encyklopedije
(Redirected from Kvadratne ravnanje)
Jump to navigation Jump to search

Kvadratnym ravnanjem (abo ravnanjem vtorogo stupnja) nazyvaje se cělo ravnanje, ktore možno napisati v formě

Ako koeficienty , i sut pravdive, togda tako ravnanje može imati dva pravdive rěšenja, jedno pravdivo rěšenje abo ne imati pravdivyh rěšenij; v tom poslědnjem slučaju, ravnanje imaje dva sprežene kompleksne rešenja.

Slučaje[praviti | praviti kod]

[praviti | praviti kod]

Ako koeficienty i sut obadva ravne nulě, togda ravnanje imaje formu
,
i jedinym rěšenjem takogo ravnanja jest (nula).

[praviti | praviti kod]

Ako koeficient jest raven nulě, a koeficient ne jest, togda ravnanje imaje formu
.
Prěměstimo v pravu čest ravnanja: .
Razdělimo obědvě česti na koeficient (ktory, jak věmo, različen jest od nuly): .
I, naposlědok, iztrgnemo kvadratny korenj: .
Ako koeficienty i imajut razne znaky, togda izraz jest položny i ravnanje imaje dva protivpoložene pravdive rešenja. V zaměn, ako koeficienty i imajut jednaky znak, togda izraz jest odrečen i ravnanje ne imaje pravdivyh rešenij, pa imaje dva izmysljene rešenja, tež protivpoložene.

[praviti | praviti kod]

Ako koeficient različen jest od nuly, a koeficient jest raven, togda ravnanje imaje formu
.
Vynesimo obči množitelj iz zatvorok: .
Proizvod jest raven nulě togda i samo togda, kogda ponje jeden množitelj jest raven nulě. To znači, že abo , abo .

[praviti | praviti kod]

Ako žaden koeficient jest raven nulě, togda ravnanje se rěšaje slědujučim sposobom:

  1. Razdělimo vse koeficienty na : .
  2. Věmo, že . Možemo napisati kako . Kromě togo, . Dobavimo toj izraz do obohdvoh čestij ravnanja (koje se ne izměni): .
  3. Prěměstimo izraz v pravu čest ravnanja: .
  4. Možemo napisati: .
  5. Iztrgnemo kvadranty korenj iz obohdvoh čestij: .
  6. Prěměstimo izraz v pravu čest ravnanja: .
  7. Naposlědok, napišemo tako: .

Ta formula govori se obča formula kvadratnyh ravnanij. Izraz govori se diskriminant ravnanja i označaje se literoju . Od jego znaka zavisi, kakymi sut rěšenja ravnanja:

  • Ako , ravnanje imaje dva pravdive različne rěšenja.
  • Ako , ravnanje imaje dva pravdive jednake rěšenja: .
  • Ako , ravnanje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Ako koeficient jest parny (), možemo koristiti tako zvanu skračenu formulu kvadratnzh ravnanij:
,
kde .

Suma i proizvod rěšenij[praviti | praviti kod]

Suma rěšenij kvadratnogo ravnanja jest: ,
a jih proizvod jest: .
Iz togo slěduje mnogo svojstv. Napriměr, da by najdti dva čisla, imajuče odpovědno sumu i proizvod , dostatočno jest razrěšiti ravnanje .
Kromě togo, ako imajemo tričlen , možemo go razložiti kako , kde i sut nuly tričlena. Zaisto, .
Ako ravnanje imaje jedno rěšenje , togda .

Grafične razrěšenje kvadratnyh ravnanij[praviti | praviti kod]

Ako imajemo dělo samo s pravdivymi čislami, možno takože rešati kvadratne ravnanja s pomočju budovanja grafika (paraboly).

  • Ako grafik prěsěče os abscis v dvoh točkah, togda rěšenjami ravnanja sut abscisy tyh toček.
  • Ako grafik se dotyče do osi abscis v jednoj točkě, togda rěšenjem ravnanje jest abscisa toj točky.
  • Ako grafik ne prěsěče osi abscis, togda ravnanje ne imaje pravdivyh rěšenij.

Ta metoda ne jest silno točna, ale pozvaljaje najdti razrěšenja s dost dobrym približenjem.

Metoda Po-Shena Loha[praviti | praviti kod]

V 2018 roku, amerikansky profesor Po-Shen Loh prědložil novu metodu rěšenja kvadratnyh ravnanij, koja, soglasno jego slovam, jest velje prostějša dlja zapamětanja.
Ta metoda sostoji se iz takyh krokov:

  1. Razdělimo obědvě česti ravnanja na : .
  2. Věmo, že suma ravnanij jest , a jih proizvod jest . Kromě togo, obadva rěšenja raznet se od svojej polusumy na jedno čislo , ale v različne strany. Tomu možemo napisati: .
  3. Razrěšajuči množenje v lěvoj česti, imajemo tako: .
  4. Prěměstimo v pravu čest, a v lěvu: .
  5. Možemo napisati: .
  6. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: .

Sejčas možemo rěkti, že rěšenja ravnanja sut . Tako kako jest soglasno klasičnoj formulě rěšenja kvadratnyh ravnanij.