Kvadratno ravnjenje

Kvadratnym ravnjenjem (abo ravnjenjem vtorogo stupnja) v algebrě nazyvaje se cělo ravnjenje, ktoro može se napisati v formě

$$ax^2+bx+c=0,a\ne0.$$

Ako koeficienty $a$, $b$ i $c$ sut pravdive, togda tako ravnjenje može imati dva pravdivyh rěšenja, jedno pravdivo rěšenje abo ne imati pravdivyh rěšenij; v tom poslědnjem slučaju, ravnjenje imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Slučaje

$b=c=0$

Ako koeficienty $b$ i $c$ sut obadva ravne nulě, togda ravnjenje imaje formu
$ax^2=0$,
i jedinym rěšenjem takogo ravnjenja jest $0$ (nula).

$b=0, c\ne0$

Ako koeficient $b$ jest raven nulě, a koeficient $c$ ne jest, togda ravnjenje imaje formu
$ax^2+c=0$.

Prěměstimo $c$ v pravu čest ravnjenja: $ax^2=-c$.

Razdělimo obědvě česti na koeficient $a$ (ktory, kako věmo, odličen jest od nuly): $x^2=-\frac{c}{a}$.

I, naposlědok, iztrgnemo kvadratny korenj: $x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$.

Ako koeficienty $a$ i $c$ imajut različne znaky, togda izraz $-\frac{c}{a}$ jest dodatny i ravnjenje imaje dva protivpoložnyh pravdivyh rěšenja. V zaměn, ako koeficienty $a$ i $c$ imajut jednaky znak, togda izraz $-\frac{c}{a}$ jest odrečny i ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva izmysljene rěšenja, tož protivpoložnyh.

$b\ne0, c=0$

Ako koeficient $b$ odličen jest od nuly, a koeficient $c$ jest raven, togda ravnjenje imaje formu
$ax^2+bx=0$.

Vynesemo obči množitelj $x$ iz zatvorok: $x\left(ax+b\right)=0$.

Proizvod jest ravny nulě togda i samo togda, kogda ponje jeden množitelj jest ravny nulě. To znači, že abo $x=0$, abo $ax+b=0\rightarrow ax=-b\rightarrow x=-\frac{b}{a}$.

$b\ne0, c\ne0$

Ako žaden koeficient jest raven nulě, togda ravnjenje $ax^2+bx+c=0$ se rěšaje slědujučim sposobom:

1. Razdělimo vse koeficienty na $a$: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$.
2. Věmo, že $\left(A+B\right)^2=A^2+2AB+B^2$. Možemo napisati $\frac{b}{a}$ kako $2\cdot\frac{b}{2a}$. Kromě togo, $\left(\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}$. Dobavimo toj izraz do obohdvoh čestij ravnjenja (koje se ne izměni): $x^2+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}$.
3. Prěměstimo izraz $\frac{c}{a}$ v pravu čest ravnjenja: $x^2+\frac{b}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}$.
4. Možemo napisati: $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
5. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: $x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
6. Prěměstimo izraz $\frac{b}{2a}$ v pravu čest ravnjenja: $x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.
7. Naposlědok, napišemo tako: $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Tuta formula govori se obča formula kvadratnyh ravnjenij. Izraz $b^2-4ac$ govori se diskriminant ravnjenja i označaje se literoju $D$. Od jego znaka zavisi, kakymi sut rěšenja ravnjenja:

• Ako $D>0$, ravnjenje imaje dva pravdive različne rěšenja.
• Ako $D=0$, ravnjenje imaje dva pravdive jednake rěšenja: $x=-\frac{b}{2a}$.
• Ako $D<0$, ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Ako koeficient $b$ jest parny ($b=2k$), možemo koristiti tako zvanu skračenu formulu kvadratnyh ravnjenij:
$x=-\frac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}$,
kde $k^2-ac=\frac{D}{4}$.

Suma i proizvod rěšenij

Suma rěšenij kvadratnogo ravnjenja jest:

$$\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-b+\sqrt{D}-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$$

A jih proizvod jest:

$$\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{b^2-D}{4a^2}=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}=\frac{b^2-b^2+4ac}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}$$

.

Iz togo slěduje mnogo svojstv. Napriměr, da by najdti dva čisla, imajuče odpovědno sumu $s$ i proizvod $p$, dostatočno jest razrěšiti ravnjenje $x^2-sx+p$.

Kromě togo, ako imajemo tričlen $ax^2+bx+c$, možemo go razložiti kako $a\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)$, kde $x_1$ i $x_2$ sut nuly tričlena. Zaisto,

$$a\left(x^2-x_2x+x_1x+x_1x_2\right)=a\left(x^2-\left(x_1+x_2\right)x+x_1x_2\right)=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=ax^2+bx+c$$

Ako ravnjenje $ax^2+bx+c=0$ imaje jedno rěšenje $x=x_0$, togda $ax^2+bx+c=a\left(x-x_0\right)^2$.

Grafične razrěšenje kvadratnyh ravnjenij

Ako imajemo dělo samo s pravdivymi čislami, možno takože rěšati kvadratne ravnjenja s pomočju budovanja grafika (paraboly).

• Ako grafik prěsěče os abscis v dvoh točkah, togda rěšenjami ravnjenja sut abscisy tyh toček.
• Ako grafik se dotyče do osi abscis v jednoj točkě, togda rěšenjem ravnjenje jest abscisa toj točky.
• Ako grafik ne prěsěče osi abscis, togda ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij.

Ta metoda ne jest silno točna, ale pozvaljaje najdti razrěšenja s dost dobrym približenjem.

Metoda Po-Shena Loha

V 2018 roku, amerikansky profesor Po-Shen Loh prědložil novu metodu rěšenja kvadratnyh ravnjenij, koja, soglasno jego slovam, jest velje prostějša do zapamětanja.

Ta metoda sostoji se iz takyh krokov:

1. Razdělimo obědvě česti ravnjenja na $a$: $x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}$.
2. Věmo, že suma ravnjenij jest $-\frac{b}{a}$, a jih proizvod jest $\frac{c}{a}$. Kromě togo, obadva rěšenja raznet se od svojej polusumy na jedno čislo $u$, ale v različne strany. Tomu možemo napisati: $\left(-\frac{b}{2a}+u\right)\left(-\frac{b}{2a}-u\right)=\frac{c}{a}$.
3. Razrěšajuči množenje v lěvoj česti, imajemo tako: $\frac{b^2}{4a^2}-u^2=\frac{c}{a}$.
4. Prěměstimo $-u^2$ v pravu čest, a $\frac{c}{a}$ v lěvu: $\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=u^2$.
5. Možemo napisati: $u^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$.
6. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: $u=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

Sejčas možemo rěkti, že rěšenja ravnjenja sut $-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. Tako kako jest soglasno klasičnoj formulě rěšenja kvadratnyh ravnjenij.