Kvadratno ravnjenje

Iz Medžuviki, svobodnoj enciklopedije
Jump to navigation Jump to search

Kvadratnym ravnjenjem (abo ravnjenjem vtorogo stupnja) v algebrě nazyvaje se cělo ravnjenje, ktoro može se napisati v formě

Ako koeficienty , i sut pravdive, togda tako ravnjenje može imati dva pravdivyh rěšenja, jedno pravdivo rěšenje abo ne imati pravdivyh rěšenij; v tom poslědnjem slučaju, ravnjenje imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Slučaje[izměniti | izměniti kod]

[izměniti | izměniti kod]

Ako koeficienty i sut obadva ravne nulě, togda ravnjenje imaje formu
,
i jedinym rěšenjem takogo ravnjenja jest (nula).

[izměniti | izměniti kod]

Ako koeficient jest raven nulě, a koeficient ne jest, togda ravnjenje imaje formu
.

Prěměstimo v pravu čest ravnjenja: .

Razdělimo obědvě česti na koeficient (ktory, kako věmo, odličen jest od nuly): .

I, naposlědok, iztrgnemo kvadratny korenj: .

Ako koeficienty i imajut različne znaky, togda izraz jest dodatny i ravnjenje imaje dva protivpoložnyh pravdivyh rěšenja. V zaměn, ako koeficienty i imajut jednaky znak, togda izraz jest odrečny i ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva izmysljene rěšenja, tož protivpoložnyh.

[izměniti | izměniti kod]

Ako koeficient odličen jest od nuly, a koeficient jest raven, togda ravnjenje imaje formu
.

Vynesemo obči množitelj iz zatvorok: .

Proizvod jest ravny nulě togda i samo togda, kogda ponje jeden množitelj jest ravny nulě. To znači, že abo , abo .

[izměniti | izměniti kod]

Ako žaden koeficient jest raven nulě, togda ravnjenje se rěšaje slědujučim sposobom:

  1. Razdělimo vse koeficienty na : .
  2. Věmo, že . Možemo napisati kako . Kromě togo, . Dobavimo toj izraz do obohdvoh čestij ravnjenja (koje se ne izměni): .
  3. Prěměstimo izraz v pravu čest ravnjenja: .
  4. Možemo napisati: .
  5. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: .
  6. Prěměstimo izraz v pravu čest ravnjenja: .
  7. Naposlědok, napišemo tako: .

Tuta formula govori se obča formula kvadratnyh ravnjenij. Izraz govori se diskriminant ravnjenja i označaje se literoju . Od jego znaka zavisi, kakymi sut rěšenja ravnjenja:

  • Ako , ravnjenje imaje dva pravdive različne rěšenja.
  • Ako , ravnjenje imaje dva pravdive jednake rěšenja: .
  • Ako , ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij, pa imaje dva sprežene kompleksne rěšenja.

Ako koeficient jest parny (), možemo koristiti tako zvanu skračenu formulu kvadratnyh ravnjenij:
,
kde .

Suma i proizvod rěšenij[izměniti | izměniti kod]

Suma rěšenij kvadratnogo ravnjenja jest:

A jih proizvod jest:

.

Iz togo slěduje mnogo svojstv. Napriměr, da by najdti dva čisla, imajuče odpovědno sumu i proizvod , dostatočno jest razrěšiti ravnjenje .

Kromě togo, ako imajemo tričlen , možemo go razložiti kako , kde i sut nuly tričlena. Zaisto,

Ako ravnjenje imaje jedno rěšenje , togda .

Grafične razrěšenje kvadratnyh ravnjenij[izměniti | izměniti kod]

Ako imajemo dělo samo s pravdivymi čislami, možno takože rěšati kvadratne ravnjenja s pomočju budovanja grafika (paraboly).

  • Ako grafik prěsěče os abscis v dvoh točkah, togda rěšenjami ravnjenja sut abscisy tyh toček.
  • Ako grafik se dotyče do osi abscis v jednoj točkě, togda rěšenjem ravnjenje jest abscisa toj točky.
  • Ako grafik ne prěsěče osi abscis, togda ravnjenje ne imaje pravdivyh rěšenij.

Ta metoda ne jest silno točna, ale pozvaljaje najdti razrěšenja s dost dobrym približenjem.

Metoda Po-Shena Loha[izměniti | izměniti kod]

V 2018 roku, amerikansky profesor Po-Shen Loh prědložil novu metodu rěšenja kvadratnyh ravnjenij, koja, soglasno jego slovam, jest velje prostějša do zapamětanja.

Ta metoda sostoji se iz takyh krokov:

  1. Razdělimo obědvě česti ravnjenja na : .
  2. Věmo, že suma ravnjenij jest , a jih proizvod jest . Kromě togo, obadva rěšenja raznet se od svojej polusumy na jedno čislo , ale v različne strany. Tomu možemo napisati: .
  3. Razrěšajuči množenje v lěvoj česti, imajemo tako: .
  4. Prěměstimo v pravu čest, a v lěvu: .
  5. Možemo napisati: .
  6. Iztrgnemo kvadratny korenj iz obohdvoh čestij: .

Sejčas možemo rěkti, že rěšenja ravnjenja sut . Tako kako jest soglasno klasičnoj formulě rěšenja kvadratnyh ravnjenij.